Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，…．

（Ⅰ）判断函数的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后分、求得函数的单调区间；（Ⅱ）首先将问题转化为，恒成立，由此令，然后通过求导研究其单调性并求得其最大值，从而求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由题可知，，则，

（i）当时，，函数为上的减函数，

（ii）当时，令，得，

①若，则，此时函数为单调递减函数；

②若，则，此时函数为单调递增函数．

（Ⅱ）由题意，问题等价于，不等式恒成立，

即，恒成立，

令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．

由，

当时，，所以函数在上单调递减，

所以函数在的最大值为，

故，不等式恒成立，实数的取值范围为．