Question

18．设函数f（x）=-2cosx-x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x²+$\frac{2}{x}$）．其中k≠0．
（1）讨论函数g（x）的单调区间；
（2）若存在x₁∈（-1，1]，对任意x₂∈（$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x₁）-g（x₂）＜k-6成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为f（x）_min＜k-6+g（x）_min，通过讨论k的范围，结合函数的单调性，确定k的具体范围即可．

解答 解：（1）g′（x）=2kx-$\frac{2k}{{x}^{2}}$=$\frac{2k{（x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$，…（1分）
当k＞0时，令g′（x）＞0，得x＞1，∴g（x）的递增区间为（1，+∞）．…（2分）
令g′（x）＜0，得x＜1，x≠0，∴g（x）的递减区间为（-∞，0），（0，1）．…（3分）
k＜0时，同理得g（x）的递增区间为（-∞，0），（0，1）；递减区间为（1，+∞）．…（5分）
（2）f′（x）=2sinx-1+ln（x+1）+1=2sinx+ln（x+1），…（6分）
∵当x∈（-1，1]时，y=2sinx及y=ln（x+1）均为增函数，
∴f′（x）在（-1，1]为增函数，又f′（0）=0，…（7分）
∴当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1]时，f′（x）＞0，
从而，f（x）在（-1，0）上递减，在（0，1]上递增，…（8分）
∴f（x）在（-1，1]上的最小值为f（0）=-2．…（9分）
∵f（x₁）-g（x₂）＜k-6，∴f（x₁）＜k-6+g（x₂），
∴f（x）_min＜k-6+g（x）_min，当k＞0时，∴g（x）_min=g（1）=3k，
∴4k-6＞-2，∴k＞1，
当k＜0时，g（x）_min=g（2）=5k，∴6k-6＞-2，∴k＞$\frac{2}{3}$，
又k＜0，∴k＜0时不合题意．
综上，k∈（1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．