Question

17．已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）（a∈R）的图象关于y轴对称．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求a的值；
（3）若函数g（x）=x-2^f（x）-2t有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的定义即可求出函数的定义域，
（2）根据偶函数的性质，即可求出a的值，
（3）解法一：根据函数零点定理可得关于t的方程组，解得即可，解法二：分别作出函数y=x²+x-1（-1＜x＜1）和y=2t的图象，由图象可得．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}}\right.$解得-1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）依题意，可知f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），即log₂（1-x）+alog₂（1+x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x），
即（a-1）[log₂（1+x）-log₂（1-x）]=0，即$（a-1）{log_2}\frac{1+x}{1-x}=0$在（-1，1）上恒成立，所以a=1．
（3）解法一：由（2）可知$f（x）={log_2}（1+x）+{log_2}（1-x）={log_2}（1-{x^2}）$，
所以g（x）=x²+x-1-2t，它的图象的对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$．
依题意，可知g（x）在（-1，1）内有两个不同的零点，
只需$\left\{{\begin{array}{l}{g（-1）=-1-2t＞0}\\{g（{-\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{4}-2t＜0}\\{g（1）=1-2t＞0}\end{array}}\right.$，解得$-\frac{5}{8}＜t＜-\frac{1}{2}$．
所以实数t的取值范围是$（{-\frac{5}{8}，-\frac{1}{2}}）$．
解法二：由（2）可知$f（x）={log_2}（1+x）+{log_2}（1-x）={log_2}（1-{x^2}）$，
所以g（x）=x²+x-1-2t．
依题意，可知g（x）在（-1，1）内有两个不同的零点，即方程2t=x²+x-1在（-1，1）内有两个不等实根，
即函数y=2t和y=x²+x-1在（-1，1）上的图象有两个不同的交点．
在同一坐标系中，分别作出函数y=x²+x-1（-1＜x＜1）和y=2t的图象，如图所示．
观察图形，可知当$-\frac{5}{4}＜2t＜-1$，即$-\frac{5}{8}＜t＜-\frac{1}{2}$时，两个图象有两个不同的交点．
所以实数t的取值范围是$（{-\frac{5}{8}，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题以对数型函数为例，考查了函数的单调性和定义域，函数的奇偶性和函数零点定理，属于中档题．