Question

6．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{2}$是2^a与2^b的等比中项，求a²+2b²的取值范围．

Answer 1

分析 由等比中项求出a+b=1，从而a²+2b²=a²+2（1-a）²=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，由此利用a＞0，b＞0，a+b=1，能求出a²+2b²的取值范围．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是2^a与2^b的等比中项，
∴$\sqrt{{2}^{a}•{2}^{b}}$=$\sqrt{{2}^{a+b}}$=$\sqrt{2}$，
∴a+b=1，∴b=1-a，
∴a²+2b²=a²+2（1-a）²=3a²-4a+2=3（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$≥$\frac{2}{3}$．
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴0＜a＜1，
∴当a=$\frac{2}{3}$时，（a²+2b²）_min=$\frac{2}{3}$；当a→0时，（a²+2b²）_max→3×（-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$=2．
∴a²+2b²的取值范围是[$\frac{2}{3}$，2）．

点评 本题考查代数式的取值范围的求法，考查等比中项、二次函数、配方法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．