Question

设等比数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意n∈N^*，S_n＞0，则数列{a_n}的公比的取值范围为（ ）
A．（-∞，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：，由S₁=a₁＞0，知恒成立，当q＞1时，qⁿ＞1恒成立；当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．当q＜1时，1-qⁿ＞0必须恒成立；当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立；当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立；当q＜-1时，当n为偶数时，1-qⁿ＞0不成立；当q=-1时，显然1-qⁿ＞0也不可能恒成立．由此能得到q的取值范围．
解答：解：，
∵S_n＞0，∴a₁＞0，
则恒成立，
当q＞1时，1-qⁿ＜0恒成立，
即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，所以这显然成立，
当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
当q＜1时，
1-qⁿ＞0必须恒成立
当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立
当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立
当q＜-1时，当n为偶数时
1-qⁿ＞0不成立
当q=-1时，显然1-qⁿ＞0也不可能恒成立
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故选D．
点评：本题考查数列{a_n}的公比的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．