Question

已知正数a，b满足a+b=2．
（1）求ab的取值范围；
（2）求4ab+

1

ab

的最小值；
（3）求ab+

4

ab

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式的性质即可得出；
（2）利用基本不等式的性质即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）∵a，b＞0，
∴2=a+b≥2

ab

，解得0＜ab≤1．
∴ab的取值范围是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，则4t+

1

t

≥2

4t• 1 t

=4，当且仅当t=

1

2

时取等号，
∴4ab+

1

ab

的最小值是4；
（3）令ab=t，则ab+

4

ab

=t+

4

t

=f（t），由（1）可得t∈（0，1]．
∵f′(t)=1-

4

t2

=

t2-4

t2

＜0，∴函数f（t）在t∈（0，1]单调递减，
因此当t=1时，函数f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即ab+

4

ab

取得最小值5．

点评：本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．