Question

（1）若函数f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，猜想f_n（x）（n∈N^*）的表达式

 

．
（2）用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除“时，假设应为

 

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,数列与函数的综合

专题：综合题,反证法

分析：（1）由已知f（x）=

x

x+2

（x＞0），且f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，则易得f₂（x）、f₃（x）的表达式，根据三个表达式，我们归纳出变化规律，进而推断出f_n（x）（n∈N^*）的表达式．
（2）反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．

解答： 解：（1）∵f₁（x）=f（x）=

x

x+2

，当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，
∴f₂（x）=f[f₁（x）]=

f1(x)

f1(x)+2

=

x

3x+4

，f₃（x）=f[f₂（x）]=

x 3x+4

x 3x+4 +2

=

x

7x+8

，
猜想f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

．
（2）反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，
故答案为：（1）f_n（x）=

x

(2n-1)x+2n

；（2）假设 a，b都不能被3整除．

点评：猜想是课改的一个亮点，也是近年高考的一个热点．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．