Question

已知三点A，B，C的坐标分别为A（1，0），B（0，-1），C（cosα，sinα），其a∈（0，π）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值．
（2）若

AC

•

BC

=

2

3

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）利用向量的坐标运算、向量模的几十个、同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）利用数量积运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答： 解：

AC

=（cosα-1，sinα），

BC

=（cosα，sinα+1）．
（1）∵|

AC

|=|

BC

|，
∴（cosα-1）²+sin²α=cos²α+（sinα+1）²，
∴-cosα=sinα⇒tanα=-1．
又0＜α＜π，∴α=

3π

4

．
（2）

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα．
∵

AC

•

BC

=

3

2

，
∴cosα（cosα-1）+sinα（sinα+1）=

3

2

，
化为sinα-cosα=

1

2

，
两边平方可得：2sinαcosα=

3

4

，
∴原式=

3

4

．

点评：本题考查了向量的坐标运算、向量模的几十个、同角三角函数基本关系式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于中档题．