Question

给定正数a，b，且a＜b，设A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*．
（1）比较A₁，A₂，A₃的大小；
（2）由（1）猜想数列{A_n}的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：数列的函数特性,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*，正数a＜b，可求得A₁，A₂，A₃，分别作差比较即可；
（2）由（1）可猜想数列{A_n}为单调递增数列，再对A_n+1与A_n作差A_n+1-A_n，判断即可．

解答： 解：（1）∵A_n=

a+nb

1+n

，n∈N^*．
∴A₁=

a+b

2

，
A₂=

a+2b

1+2

=

a+2b

3

，
A₃=

a+3b

4

，
又a＜b，
∴A₁-A₂=

a+b

2

-

a+2b

3

=

a-b

6

＜0，即A₁＜A₂；
同理可得，A₂-A₃=

a-b

12

＜0，即A₂＜A₃；
∴A₁＜A₂＜A₃；
（2）由（1）可猜想数列{A_n}为单调递增数列．
∵A_n+1-A_n=

a+(n+1)b

1+(n+1)

-

a+nb

1+n

=

(n+1)[a+(n+1)b]-(n+2)(a+nb)

(n+2)(n+1)

=

b-a

(n+2)(n+1)

＞0，
∴A_n+1＞A_n，
即数列{A_n}为单调递增数列．

点评：本题考查数列递推式的应用，着重考查数列的函数特性，突出考查作差法的应用，属于中档题．