Question

13．某几何体的三视图如图所示．则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． 8π
• B． 16π
• C． 32π
• D． 64π

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，根据三视图的数据和几何体的结构特征计算出几何体的长宽高，利用多面体与球的关系得出球的半径．

解答 解：作出几何体的直观图如图所示：

由三视图可知：PB⊥平面ABC，AB⊥BC，
设AB=x，BC=y，PB=z，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=7}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=13}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得x=2，y=$\sqrt{3}$，z=3．
过AC中点D做DO⊥平面ABC，设外接球的球心为O，则O到平面ABC的距离OD=$\frac{1}{2}PB$=$\frac{3}{2}$．
∴外接球的半径r=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2．
∴外接球的表面积S=4πr²=16π．
故选B．

点评 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，棱锥与球的关系，属于中档题．