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已知函数f(x)=alnx-(1+a)x+
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x2,a∈R
(Ⅰ)当0<a<1时,求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)当x∈[
1
e
,+∞)时f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
(x-1)(x-a)
x

当0<a<1时,由f′(x)>0可得0<x<a或x>1;由f′(x)<0可得a<x<1,
∴函数f(x)的单调递增区间是(0,a),(1,+∞),单调递减区间是(a,1),
∴x=a时,取得极大值alnz-(1+a)a+
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a2,x=1时,取得极小值-
1
2
-a;
(Ⅱ)∵f(1)=-
1
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-a,
∴显然a>0时,f(1)<0,此时f(x)≥0对x∈[
1
e
,+∞)内的任意x不是恒成立的;
当a≤0时,得函数f(x)在区间[
1
e
,+∞)的极小值、也是最小值即是f(1)=-
1
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-a,
此时只要f(1)≥0即可,解得a≤-
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练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

函数f(x)=
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x3-2x2+3x-2在区间[0,2]上最大值与最小值的和为______.

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求函数f(x)=x5+5x4+5x3+1在区间[-1,4]上的最大值与最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈[0,
π
2
]
都成立,则a2-a1的最小值为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

函数f(x)=asinx+bcosx+c(a,b,c为常数)的图象过原点,且对任意x∈R总有f(x)≤f(
π
3
)
成立;
(1)若f(x)的最大值等于1,求f(x)的解析式;
(2)试比较f(
b
a
)
f(
c
a
)
的大小关系.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,A,B是函数y=ax(a>1)在y轴右侧图象上的两点,分别过A,B作y轴的垂线与y轴交于E,F两点,与函数y=ex的图象交于C,D两点,且A是CE的中点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当直线BC与y轴平行时,设B点的横坐标为x,四边形ABDC的面积为f(x),求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若对任意的正数b,关于x的不等式
2f(x)
ex-1
3exln
xb
em
在区间[1,e]上恒成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[
1
e
,e]
,使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为(   )
A.B.C.D.

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