Question

已知定义R在的函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R，有如下判断，
①无论a取任意实数，函数f（x）的图象均过原点；
②若f（x）是奇函数，则a=0；
③当a＞2时，函数f（x）在区间（-∞，2]上的解析式是f（x）=-x²+ax；
④当a=1时，函数f（x）有最大值

1

4

；
⑤当a=2时，若函数y=f（x）-m有3个零点，则0＜m＜1．
其中正确的是

 

．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：根据五个小题的内容可知，该题分别考查了函数的解析式、奇偶性、最值、零点等概念和性质，可分别用相关概念和性质求解，注意数形结合．

解答： 解：∵函数f（x）=x|x-a|，其中a∈R，
对于①，f（0）=0恒成立，∴函数f（x）的图象均过原点，故①正确；
对于②，若f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|=-x|x-a|，即x|x+a|=x|x-a|恒成立，∴-a=a，∴a=0，故②正确；
对于③，若a＞2，当x≤2时，则f（x）=x|x-a|=-x（x-a）=-x²+ax，故③正确；
对于④，当a=1时，f（x）=x|x-1|，取x=2，则f（2）=2＞

1

4

，故④不正确；
对于⑤，当a=2时，y=f（x）-m=x|x-2|-m，
当x≥2时，f（x）=x²-2x-m=（x-1）²-m-1，此时该函数在[2，+∞）上是增函数，∴当x≥2时，f（x）≥f（2）=-m；
当x＜2时，f（x）=-（x-1）²+1-m，此时该函数在（-∞，1）上是增函数，在[1，2）上是减函数，∴当x＜2时，f（x）≤f（1）=1-m；
结合图象可知，要使原函数有三个零点只需

-m＜0 1-m＞0

，解得0＜m＜1，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤

点评：实际上，这道题经过去绝对值符号后，主要是考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数的图象和性质是高考的重点与热点，应引起足够的重视．