Question

已知二次函数y=ax²+2ax+1，当1≤x≤2时有最大值为6，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先求出二次函数的对称轴解析式，再分a＞0与a＜0时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．

解答： 解：∵二次函数y=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a² 的对称轴为x=-1，
①a＞0时，在1≤x≤2范围内，当x=2时，取得最大值6，
即 4a+4a+1=6，a=

5

8

．
②a＜0时，则当x=1时，取得最大值为6，即 3a+1=6 a=

5

3

（舍去）．
综上可得，a=

5

8

．

解：由于椭圆的左焦点F₁（-2，0），∴c=2．
再根据e=

c

a

=

1

2

，∴a=4，∴b²=a²-c²=12，椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
由△PF₁F₂为直角三角形，PF₁＞PF₂，
若可得PF₁⊥PF₂，设点P（m，n），m＞0，则由

m2 16 + n2 12 =1 n-0 m+2 • n-0 m-2 =-1

，可得m、n无解．
故一定是PF₂⊥x轴，故点P（2，±3），PF₁=

PF22+(2c)2

=

9+16

=5，PF₂=3，
∴

PF1

PF2

=

5

3

．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分a＞0与a＜0两种情况讨论求解，属于基础题．