Question

20．设f（x）=|ax-1|，若f（x）≤2的解集为[-1，3]．
（1）求实数a的值；
（2）若x+y+z=a（x，y，z∈（0，+∞）），求$u=\frac{1}{x+y}+\frac{x+y}{z}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；
（2）求出x+y=1-z，根据z的范围，求出u的最小值即可．

解答 解：（1）|ax-1|≤2⇒-2≤ax-1≤2?-1≤ax≤3，
当a＞0时，$\frac{-1}{a}≤x≤\frac{3}{a}，\left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{a}=-1\\ \frac{3}{a}=3\end{array}\right.?a=1$，
当a＜0时，$\frac{3}{a}≤x≤\frac{-1}{a}，\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{a}=-1\\ \frac{-1}{a}=3\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ a=-\frac{1}{3}\end{array}\right.$，此时无解，
当a=0时，也无解．
（2）由x+y+z=1⇒x+y=1-z，z∈（0，1），
则$\frac{1}{x+y}+\frac{x+y}{z}=\frac{1}{1-z}+\frac{1-z}{z}=\frac{1}{1-z}+\frac{1}{z}-1=[（1-z）+z]（\frac{1}{1-z}+\frac{1}{z}）-1=\frac{z}{1-z}+\frac{1-z}{z}+1≥3$，
所以${（\frac{1}{x+y}+\frac{x+y}{z}）_{min}}=3$，此时$x+y=z=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了分类讨论思想，考查解绝对值不等式问题以及转化思想，是一道中档题．