Question

17．已知点A是抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为其焦点，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是$\frac{128}{3}$，则抛物线的方程是（　　）

• A． y²=12x
• B． y²=14x
• C． y²=16x
• D． y²=18x

Answer 1

分析 由等边三角形的性质可得|BF|=|AF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，由抛物线的定义和三角形的面积公式，计算即可得到p=8，进而得到抛物线方程．

解答 解：由题意可得$\frac{|DF|}{|BF|}$=cos30°且|DF|=p，
可得|BF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，从而|AF|=$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
由抛物线的定义可得A到准线的距离也为$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
又△ABC的面积为$\frac{128}{3}$，
可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2p}{\sqrt{3}}$•$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=$\frac{128}{3}$，
解得p=8，则抛物线的方程为y²=16x．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，考查等边三角形的性质，以及运算能力，属于中档题．