Question

设函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若0＜x≤

π

3

，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用倍角公式及两角和的公式化成正弦型函数的标准形式，然后根据周期公式T=

2π

|ω|

求周期；（2）由x的范围先求出2x+

π

6

的范围，进而求出2sin(2x+

π

6

)的范围，得出函数y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）因为f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx-1
=1-cos2x+

3

sin2x-1
=2sin（2x+

π

6

）．
所以f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π．
（2）∵0＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

2π

3

+

π

6

=

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴1≤2sin(2x+

π

6

)≤2，
故函数y=f（x）的值域为[1，2]．

点评：本题考查了三角变换及三角函数的周期性和值域问题，解题的关键是利用公式化成正弦型函数的标准形式．