Question

18．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a_n＞0，4S_n+3=a_n²+2a_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得，又a_n＞0，即可求出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，${a_1}^2+2{a_1}=4{S_1}+3=4{a_1}+3$，
因为a_n＞0，所以a₁=3，
当n≥2时，${a_n}^2+2{a_n}-{a_{n-1}}^2-2{a_{n-1}}=4{S_n}+3-4{S_{n-1}}-3=4{a_n}$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a_n=2n+1．
（2）由（1）知，${b_n}=\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
则数列{b_n}前n项和为${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）}]=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．