Question

12．已知椭圆方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，F₁，F₂是它的左、右焦点，A，B为它的左、右顶点，l是椭圆的右准线，P是椭圆上一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点．
（1）若P（0，$\sqrt{3}$），求$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$的值；
（2）若P（x₀，y₀）是椭圆上任意一点，求$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$的值；
（3）能否将问题推广到一般情况，即给定椭圆方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），P（x₀，y₀）是椭圆上任意一点，问$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$是否为定值？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a，b，c，可得顶点的坐标和焦点的坐标，求出直线PA的方程，求得M的坐标，同理可得N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得结论；
（2）设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），求得直线PA的方程，可得M的坐标，以及N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值6；
（3）$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$为定值2b²．设出椭圆的左右顶点和焦点，右准线方程，求得直线PA的方程，可得M的坐标和N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定值．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
可得A（-2，0），B（2，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），右准线l：x=4，
由P（0，$\sqrt{3}$），可得直线PA的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x+2），令x=4，可得M（4，3$\sqrt{3}$），
同理可得N（4，-$\sqrt{3}$），
则$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$=（-1-4，-3$\sqrt{3}$）•（1-4，$\sqrt{3}$）=-5×（-3）-3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6；
（2）设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），（x₀≠-2），
与x=4联立，可得M（4，$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$），同理可得N（4，$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$），
则$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$=（-5，-$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）•（-3，-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）=15+$\frac{12{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$
=15+$\frac{12×3（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=15-9=6；
（3）$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$为定值2b²．
证明：由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，
可得A（-a，0），B（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），右准线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即y₀²=b²（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$），
直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$（x+a），（x₀≠-a），
与x=$\frac{{a}^{2}}{c}$联立，可得M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}+a）{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$），
同理可得N（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$），
则$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{N{F_2}}$=（-c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}+a）{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$）•（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$）
=$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-c²+$\frac{（\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-{a}^{2}）{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）（{a}^{2}+{c}^{2}）}{{c}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$•$\frac{{b}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}）}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$
=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}+{c}^{2}）}{{c}^{2}}$-$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}）}{{c}^{2}}$=2b²．

点评 本题椭圆方程和性质的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，化简整理的运算能力，属于中档题．