Question

6．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a²-c²=3b，且sinAcosC=2cosAsinC，则b=9．

Answer 1

分析 利用正余弦定理求解即可．sinAcosC=2cosAsinC，可得acosC=2c•cosA，再由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，a²-c²=3b，带入即可求解．

解答 解：由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
由题意：∵sinAcosC=2cosAsinC，
∴acosC=2c•cosA，则：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2b}$=2×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}$
∵a²-c²=3b，
所以有：$\frac{b+3}{2}$=b-3
解得：b=9
故答案为9．

点评 本题考查了利用正余弦定理运用能力和计算能力．属于基础题．