Question

（16分）如图所示，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q，当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ的中点M的轨迹方程，并求点M到x轴的最短距离.

Answer 1

点M到x轴的最短距离是+1

 设P（x₀，y₀），则y₀=x,
∴过点P的切线斜率k=x₀,
当x₀=0时不合题意，∴x₀≠0.
∴直线l的斜率k_l=-=-,
∴直线l的方程为y-x=-(x-x₀).
此式与y=x²联立消去y得
x²+x- x-2=0.
设Q（x₁,y₁）,M(x,y).∵M是PQ的中点，
∴,
消去x₀，得y=x²++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x²＞0,
∴y=x²++1≥2+1=+1.
上式等号仅当x²=,即x=±时成立，
所以点M到x轴的最短距离是+1.