Question

设三次函数h(x)=px³+qx²+rx+s满足下列条件:h(1)="1,h(-1)=" -1,在区间（-1，1）上分别取得极大值1和极小值-1，对应的极点分别为a，b。
(1)证明：a+b=0
(2)求h（x）的表达式
(3)已知三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d在（-1，1）上满足-1<f(x)<1。证明当|x|>1时，有|f(x)|<|h(x)|

Answer 1

（1）见解析（2）h(x)=4x³-3x（3）见解析

（1）解：由f(1)=1,f(-1)=-1得q+s="0,r+p=1"
h(x)=px³-sx²+(1-p)x+s
h’(x)=3px²-2sx+1-p
因为（-1，1）内有两极值且f(1)=1,所以有p>0
=0(*)
又由韦达定理得，即代入(*)中得

因为p>0,a+bÎ（-2，2）,所以
所以有
（2）解：由得s=0，q="0"
所以h(x)=px³+(1-p)x，又
消去p得所以有
所以有h(x)=4x³-3x
（3）解：因为|x|<1时|f(x)|<1,所以有|f(1)|£1,|f(-1)|£1
令F(x)=h(x)+f(x)，G(x)=h(x)-f(x)
则有F(1)=1+f(1)³0,F()=-1+f()<0,F()=1+f(-)>0,F(-1)=-1+f(-1)£0
所以有F（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，F(x)>0,当x<-1时，F(x)<0
同理有：G(1)=1-f(1)³0,  G()=-1-f()<0,  G()=1-f(-)>0,
G(-1)=-1-f(-1)£0
所以有G（x）在(-1,1)内有极大值和极小值，当x>1时，G(x)>0,当x<-1时，G(x)<0
所以当|x|>1时，有F(x)G(x)>0即h²(x)>f²(x)即|h(x)|>|f(x)