Question

2．若对任意a＞0，b∈R，存在x∈[1，2]，使得|${\frac{2}{x}$-ax+b|≥M成立，则实数M的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 构造函数，利用导数求出函数的最值，再分类讨论即可求出答案．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{x}$-ax+b，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-a，
∵a＞0，
∴f′（x）=-

2

x2

-a＜0恒成立，
∴f（x）在[1，2]为减函数，
∴f（x）_max=f（1）=2-a+b=1-a+b+1=2-a+b
f（x）_min=f（2）=1-2a+b=1-a+b-a=1-2a+b
若|2-a+b|＞|1-2a+b|，即|2-a+b|²＞|1-2a+b|²，即（3-3a+2b）（1+a）＞0，
∴3-3a+2b＞0，M的最大值为：|2-a+b|，
若|2-a+b|=|1-2a+b|，即3-3a+2b=0，M的最大值为：|2-a+b|，
若|2-a+b|＜|1-2a+b|，即|2-a+b|²＞|1-2a+b|²，即（3-3a+2b）（1+a）＜0，
∴3-3a+2b＜0，M的最大值为：|1-2a+b|，
在x∈[1，2]上，函数相对于x轴的宽度为1+a，∴M的最大值为$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查了函数存在性的问题，关键是构造函数判断函数的最值，属于中档题．