Question

6．如图，已知在△ABC中有内切圆⊙O，分别切三边于K、L、M，⊙O的面积为27π，∠MKL=60°，BC：AC=8：5．求：
（1）∠C的度数；
（2）△ABC的三边长．

Answer 1

分析 （1）连接OL，OM，利用切线的性质可得：OM⊥AC，OL⊥BC．由∠MKL=60°，可得∠MOL=120°，即可得出．
（2）由BC：AC=8：5，可设BC=8x，则AC=5x，由余弦定理可得c=AB=7x，由⊙O的面积为27π，解得r．利用$\frac{1}{2}$r（8x+7x+5x）=$\frac{1}{2}$×8x•5xsin60°，解得x即可得出．

解答 解：（1）连接OL，OM，则OM⊥AC，OL⊥BC．
∵∠MKL=60°，∴∠MOL=120°，
∴∠C=360°-2×90^°-120^°=60^°．
（2）由BC：AC=8：5，可设BC=8x，则AC=5x，
由余弦定理可得：c²=（8x）²+（5x）²-2×8x×5xcos60°=49x，解得c=AB=7x，
∵⊙O的面积为27π，∴πr²=27π，解得r=3$\sqrt{3}$．
∴$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}$（8x+7x+5x）=$\frac{1}{2}$×8x•5xsin60°，解得x=3．
∴△ABC的三边分别为：24，21，15．

点评 本题考查了三角形内切圆的性质、余弦定理、三角形与圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．