Question

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

-

1

2

（1）求函数f（x）的单调递增区间及最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可解得函数的单调区间，可得周期；
（2）由题意结合正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，由三角函数的公式化简可得cosB=

1

2

，可得B值，可得A的范围，由不等式的性质可得f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）的取值范围．

解答：解：（1）由三角函数的公式化简可得f（x）=

3

2

sin

x

2

+

1+cos x 2

2

-

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）．
由2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，
故函数的增区间[4kπ-

4π

3

，

2π

3

+4kπ]，k∈Z，
周期T=

2π

1 2

=4π；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

，∴A∈(0，

2π

3

)，
故f（A）=sin（

A

2

+

π

6

），
由A∈(0，

2π

3

)可得（

A

2

+

π

6

）∈（

π

6

，

π

2

），
∴f(A)∈(

1

2

，1)．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及正弦定理的应用和三角函数的周期，属中档题．