试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性,最值和不等式等基础知识,考查函数思想,分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,当
时,函数解析式确定,并不是分段函数,这就降低了试题的难度,求导数,判断所求区间上函数的单调性,再求最值,第一问较简单;第二问,由于函数
是分段函数,所以根据函数定义域把所求区间从
断开,充分考查了分类讨论思想,求出每段范围内函数的最小值来解决恒成立问题.
试题解析:(1)当
,
时,
,
∵
,∴当
时,
,
∴函数
在
上单调递增,
故
.(4分)
(2)①当
时,
,
,
∵
,∴
,∴
在
上为增函数,
故当
时,
;
②当
时,
,
,
(ⅰ)当
即
时,
在区间
上为增函数,
当
时,
,且此时
;
(ⅱ)当
,即
时,
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,
故当
时,
,且此时
;
(ⅲ)当
,即
时,
在区间
上为减函数,
故当
时,
.
综上所述,函数
在
上的最小值为
由
,得
;由
,得无解;
,得无解;
故所求
的取值范围是
.(12分)