试题分析:(Ⅰ)不是常见的函数的单调性问题,可以采用求导得方法.通过定导数的正负来确定单调性.在本题中,求导得
,但发现还是无法直接判断其正负.这时注意到
在
上单调递减,可以得到其最大值,即
,而
,所以
,从而得函数
在
上单调递减;(Ⅱ)通过
,
是函数
的两个零点把
用
表示出来,代入
中,由
分成
与
两段分别定其正负.
易知为负,
则化成
,再将
视为整体,通过研究
的单调性确定
的正负,从而最终得到
.本题中通过求导来研究
的单调性,由其最值确定
的正负.其中要注意
的定义域为
,
从而
这个隐含范围.
试题解析:(Ⅰ)
, 1分
易知
在
上单调递减, 2分
∴当
时,
. 3分
当
时,
在
上恒成立.
∴当
时,函数
在
上单调递减. 5分
(Ⅱ)
,
是函数
的两个零点,
(1)
(2) 6分
由(2)-(1)得:
,
8分
,所以
,
将
代入化简得:
9分
因为
,故只要研究
的符号
10分
令
,则
,且
,
令
, 12分
所以
,
当
时,
恒成立,所以
在
上单调递增,所以当
时,
,所以
,又
,故
,所以
,即
,又
,所以
. 14分