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已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论函数在[上的单调性;
(Ⅱ)如果是函数的两个零点,为函数的导数,证明:.
(Ⅰ)当时,函数上单调递减;(Ⅱ)详见解析.

试题分析:(Ⅰ)不是常见的函数的单调性问题,可以采用求导得方法.通过定导数的正负来确定单调性.在本题中,求导得,但发现还是无法直接判断其正负.这时注意到上单调递减,可以得到其最大值,即,而,所以,从而得函数上单调递减;(Ⅱ)通过是函数的两个零点把表示出来,代入中,由分成两段分别定其正负.易知为负,则化成,再将视为整体,通过研究的单调性确定的正负,从而最终得到.本题中通过求导来研究的单调性,由其最值确定的正负.其中要注意的定义域为从而这个隐含范围.
试题解析:(Ⅰ),     1分
易知上单调递减,        2分
∴当时,.      3分
时,上恒成立.
∴当时,函数上单调递减.    5分
(Ⅱ)是函数的两个零点,
  (1)
  (2)    6分
由(2)-(1)得:
    8分
,所以

代入化简得:    9分
因为,故只要研究的符号
    10分
,则,且
,                       12分
所以
时,恒成立,所以上单调递增,所以当时,
,所以,又,故,所以,即,又
,所以.    14分
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