Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求四面体EBDF的体积；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如图所示，设BD∩AC=O，取DE的中点M，连接AM、OM．利用平行四边形的判定可得四边形AFEM是平行四边形，得到AM∥FE．利用三角形的中位线定理可得OM∥BE，利用面面平行的判定可得平面ACM∥平面BFE，利用其性质可得AC∥平面BEF．
（II）利用面面垂直的性质可得BA是三棱锥B-DEF的高．再利用三棱锥的体积计算公式V_{三棱锥B-DEF}=

1

3

×BA×S△DEF即可；
（III）连接FO，利用平面ABCD⊥平面ADEF，可得FA⊥平面ABCD．又BD⊥AC，利用三垂线定理可得BD⊥FO．于是∠AOF是二面角F-BD-A的平面角．

解答：（I）证明：如图所示，设BD∩AC=O，取DE的中点M，连接AM、OM．
则EM

1

2

DE=AF，又AF∥DE，∴四边形AFEM是平行四边形，∴AM∥FE．
又点O是正方形的对角线AC与BD的交点，∴DO=OB．
在△BDE中，OM∥BE，
又AM∩MO=M，∴平面ACM∥平面BFE，∴AC∥平面BEF．
（II）∵BA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴BA⊥平面ADEF，即BA是三棱锥B-DEF的高．
又S△DEF=

1

2

AD•DE=

1

2

×2×2=2．
∴V_{三棱锥B-DEF}=

1

3

×BA×S△DEF=

1

3

×2×2=

4

3

．
（III）连接FO，∵FA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴FA⊥平面ABCD．
又BD⊥AC，∴BD⊥FO．
∴∠AOF是二面角F-BD-A的平面角，在Rt△AOF中，FO=

AF2+AO2

=

3

，
∴cos∠AOF=

AO

OF

=

2

3

=

6

3

，即为二面角F-BD-A的平面角的余弦值．

点评：本题综合考查了线面与面面垂直的判定与性质定理、平行四边形的性质定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式、二面角的平面角等基础知识与基本技能方法，属于难题．