Question

5．已知函数f（x）=x³-2x²+x．
（1）求函数f（x）单调区间．
（2）求f（x）在区间[$\frac{1}{3}，2$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性，求出函数的极值和端点值，从而求出函数在闭区间上的最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-2x²+x，
∴f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）递增，在（$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）由（1）得：f（x）在[$\frac{1}{3}$，1）递减，在（1，2]递增；
而f（1）=0，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，f（2）=2，
∴f（x）的最大值为f（2）=2，f（x）的最小值为f（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．