Question

【题目】已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为 ，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）判断ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当ABCD的面积取到最大值时，判断ABCD的形状，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）由题意可得： ，解得c=1，a=2，b2=3．∴椭圆E的方程为 ．
（II）假设ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．
①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得： =1，解得y= ，
取A ，则|AD|=2，|AB|=3，此时ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
联立 ，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∴kOAkOB= = = = = ，
假设 =﹣1，化为k2=﹣ ，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
联立 ，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
|AB|= = ．
点O到直线AB的距离d= ．
∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB=
=2× × = ．
则S2= = ＜36，
∴S＜6．
因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6
【解析】（I）由题意可得： ，解得c，a，b2 ， 即可得出．（II）假设ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOAkOB=﹣1．分类讨论：①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程，解出即可判断出；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．把直线AB的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根与系数的关系及其斜率计算公式kOAkOB=﹣1，看此方程是否有解即可判断出．（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．直线BA的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，利用根与系数的关系可得|AB|= ，点O到直线AB的距离d= ．S平行四边形ABCD=4×S△OAB= ，即可得出．