Question

【题目】设椭圆的焦点分别为 、，直线：交轴于点，且

（1）求椭圆的方程；

（2）过 分别作互相垂直的两直线，与椭圆分别交于D、E和M、N四点， 求四边形面积的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）最大值为4，最小值为 .

【解析】

(1)根据解得a，再根据c=1解得b,(2)先考虑斜率不存在时四边形的面积，再考虑斜率存在时，利用韦达定理求弦长，再利用面积公式求四边形面积，最后根据基本不等式求最值.

（1）因为 ，所以 .

（2）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积．同理当与轴垂直时，四边形的面积．

当直线，均与轴不垂直时，设，代入椭圆方程消去得：

设 所以

同理

所以四边形的面积

因为，所以．

综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为．