Question

6．在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（2，0），P（x，y）满足$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16，设点P的轨迹为C₁，从C₁上一点Q向圆C₂：x²+y²=r²（r＞0）作两条切线，切点分别为M，N且∠MQN=60°
（1）求点P的轨迹方程r
（2）当点Q在第一象限时，连接切点M，N，分别交x，y轴于点C，D，求△OCD面积最小时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16分析可得（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16，将其化简变形即可得答案；
（2）设点Q、M、N的坐标，由圆的切线方程可得QM、QN方程，分析可得MN的直线方程，求出MN与坐标轴的交点坐标，进而可以表示△OCD面积，由基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解（1）由题意$\overrightarrow{P{A}^{2}}$$+\overrightarrow{P{B}^{2}}$=16，即（x+2）²+y²+（x-2）²+y²=16，
整理得：x²+y²=4，
∴点P的轨迹方程为x²+y²=4，
在Rt△OMQ中，∠MQO=30°，|OQ|=2∴|OM|=2sin30°=1，即圆C的半径r=1．
（2）设点Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₀＞0，y₀＞0）
∵QM，QN为圆${C_2}：{x^2}+{y^2}=1$的切线．
∴QM方程为x₁x+y₁y=1，QN方程为x₂x+y₂y=1．
∵Q点在直线QM．QN上，∴MN直线方程为x₀x+y₀y=1．
此时，MN与x轴的交点C坐标为$（\frac{1}{x_0}，0）$，与y轴交点的坐标为（0，$\frac{1}{{y}_{0}}$），
则S_△OCD=$\frac{1}{2{x}_{0}{y}_{0}}$，
分析可得2x₀y₀≤x₀²+y₀²=4，当且仅当x₀=y₀=$\sqrt{2}$等号成立，
此时△OCD面积最小，点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的应用，关键是求出点P的轨迹方程．