Question

14．设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂a₃=128，a₃+a₄=48．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$，S_n是数列{b_n}的前n项和，不等式S_n＞log₂（a-2）对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，求出数列{b_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{n+1}$，由不等式S_n＞log₂（a-2）对任意正整数n恒成立，得到log₂（a-2）$≤\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵项均为正数的等比数列{a_n}中，a₂a₃=128，a₃+a₄=48，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}=128}\\{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=48}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得a₁=4，q=2，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}$=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）b_n=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{nlo{g}_{2}{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}≤{S}_{n}＜1$，
∵不等式S_n＞log₂（a-2）对任意正整数n恒成立，
∴1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$＞log₂（a-2）对任意正整数n恒成立，
∴log₂（a-2）≤$\frac{1}{2}$=log₂$\sqrt{2}$，即0＜a-2＜$\sqrt{2}$，解得2＜a＜2+$\sqrt{2}$．
∴实数a的取值范围是（2，2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．