Question

9．设点A是坐标原点O在直线2x-3y+13=0上的射影，对数函数y=log_ax的图象恒过定点B，向量$\overrightarrow{AB}$对应复数z₀
（1）求复数z₀；
（2）设复数z满足|z|=2，求|z-z₀|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A的坐标，B的坐标，然后求解复数z₀；
（2）利用复数的几何意义求解|z-z₀|的最大值和最小值．

解答 解：（1）结果坐标原点O与直线2x-3y+13=0垂直的准线方程为：y=-$\frac{3}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+13=0}\\{y=-\frac{3}{2}x}\end{array}\right.$，
解得x=-2，y=3，A（-2，3）．
对数函数y=log_ax的图象恒过定点B（1，0）．
向量$\overrightarrow{AB}$=（3，-3）对应复数z₀=3-3i．
（2）复数z满足|z|=2，以原点为圆心半径为2的圆，z₀的对应点（3，-3），
z₀的对应点与原点的距离为：3$\sqrt{2}$，
所以|z-z₀|的最大值为：2+3$\sqrt{2}$和最小值3$\sqrt{2}-2$．

点评 本题考查复数的几何意义，向量在几何中的应用，点与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．