Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，则S₂₀=（　　）

• A． 1024
• B． 1086
• C． 2048
• D． 3069

Answer 1

分析 由a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，得当n=1时，a₂=2，当n≥2时，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，数列{a_n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比为2，利用等比数列的前n项和公式即可求出结果．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ，
∴当n=1时，a₂=2，
当n≥2时，$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}=\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}=2$，
∴数列{a_n}的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比为2，
∴S₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=$\frac{1×（1-{2}^{10}）}{1-2}$+$\frac{2×（1-{2}^{10}）}{1-2}$
=3069．
故选：D．

点评 本题考查数列的前20项和的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．