Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（a+b-c）（a+b+c）=ab．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2acosB，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出cosC，把已知等式整理后代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．
（2）由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A-B）=0，根据-π＜A-B＜π，可求A-B=0，可得a=b=2，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）在△ABC中，∵（a+b-c）（a+b+c）=ab，
∴（a+b）²-c²=ab，即a²+b²-c²=-ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-$\frac{1}{2}$，
∵C为三角形内角，
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵c=2acosB，
∴由正弦定理可得 sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，又-π＜A-B＜π，
∴A-B=0，可得：a=b=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．