Question

18．某校在一次高三年级“诊断性”测试后，对该年级的500名考生的成绩进行统计分析，成绩的频率分布表及频率分布直方图如图所示，规定成绩不小于125分为优秀．
（1）若用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；
（2）在（1）中抽取的20名学生中，要随机抽取2名学生参加分析座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列及数学期望．

区间	人数
[115，120）	25
[120，125）	a
[125，130）	175
[130，135）	150
[135，140）	b

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图求出成绩不小于125分的频率，由此能求出成绩为优秀的学生人数．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由频率分布直方图得成绩不小于125分的频率为：
1-（0.01+0.04）×5=0.75，
∴用分层抽样的方法从这500人中抽取20人的成绩进行分析，
其中成绩为优秀的学生人数为：20×0.75=15．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{1}{19}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{15}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{15}{38}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{15}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{21}{38}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{19}$	$\frac{15}{38}$	$\frac{21}{38}$

EX=$0×\frac{1}{19}+1×\frac{15}{38}+2×\frac{21}{38}$=$\frac{57}{38}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．