Question

6．已知函数f（x）=sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）画出函数y=f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．
（2）由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调增区间．
（3）由（1）的解析式列出表格，在平面坐标系中描出五个点，然后用平滑的曲线作出函数的图象即可．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最小值为$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ$-\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：[kπ$-\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（3）列表如下：

2x-$\frac{π}{4}$	-$\frac{5π}{4}$	-$\frac{3π}{4}$	-$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{3π}{4}$
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$
y	1	0	0	1	1

对应的图象如下：

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，要求熟练掌握五点作图法，属于中档题．