Question

椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点为M，抛物线C₂在点M处的切线过椭圆C₁的右焦点F．
（Ⅰ）若M(2，

2 5

5

)，求C₁和C₂的标准方程；
（II）求椭圆C₁离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据M在抛物线C₂上，求出抛物线方程，进而得到C₂在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标，再结合M在椭圆C₁上即可求出椭圆C₁的标准方程；
（II）先设M(x0，

1

2p

x0 2)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，进而得到C₂在点M处的切线方程求出右焦点F的坐标；再结合M在椭圆C₁上以及p＞0求出a，b之间的关系即可得到椭圆C₁离心率的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）把M(2，

2 5

5

)代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=

5

，
故C₂：x2=2

5

y（2分）
由y=

5

10

x2得y′=

5

5

x，从而C₂在点M处的切线方程为y-

2 5

5

=

2 5

5

(x-2)（3分）
令y=0有x=1，F（1，0），（4分）
又M (2，

2 5

5

)在椭圆C₁上 
所以

4 a2 + 4 5b2 =1 a2-b2=1

，解得a²=5，b²=4，故C₁：

x2

5

+

y2

4

=1（6分）
（Ⅱ）设M(x0，

1

2p

x0 2)，由y=

1

2p

x2得y′=

1

p

x，
从而C₂在点M处的切线方程为y-

x02

2p

=

x0

p

(x-x0)（8分）
设F（c，0），代入上式得x₀=2c，
因为

x02

a2

+

y02

b2

=1，
所以y02=b2(1-

x02

a2

)=b2(1-

4c2

a2

)=

b2

a2

(4b2-3a2)（10分）
又x₀²=2py₀，所以p=

x 02

2y0

=

2c2

b a 4b2-3a2

=

2a(a2-b2)

b 4b2-3a2

，（11分）
从而4b²＞3a²，即4c²＜a²，e2＜

1

4

，e＜

1

2

，
所以椭圆C₁离心率的取值范围为0＜e＜

1

2

．（13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．其中涉及到抛物线以及椭圆标准方程的求法，考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．