Question

【题目】《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，.

（1）求证：四棱锥为阳马；并判断四面体是否为鳖臑，若是，请写出各个面的直角（要求写出结论）.

（2）若，当阳马体积最大时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；是，，，，；（2）.

【解析】

（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，推导出，，从而BC⊥平面，由此能证明四棱锥为阳马，四面体是否为鳖臑;

（2）阳马B﹣A1ACC1的体积：阳马的体积：，当且仅当时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当阳马体积最大时，二面角的余弦值．

证明：（1）由堑堵的性质得：四边形是矩形，底面，平面，，

又，，平面，面，四棱锥为阳马，

四面体为鳖臑，四个面的直角分别是，，，.

（2），由（1）知阳马的体积：

，当且仅当时，，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，

，，

设平面的法向量，则，取，得，

设平面的法向量，则，取，得，

设当阳马体积最大时，二面角的平面角为，则，

当阳马体积最大时，二面角的余弦值为.