Question

15．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且满足（2c-b）tanB=btanA．
（1）求A的大小；
（2）求$\frac{{{b^2}-{{（a-c）}^2}+bc}}{ac}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简已知的等式（2c-b）tanB=btanA，由sinB不为0，在等式两边都除以sinB后，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，再由sinC不为0，两边都除以sinC，得到cosA的值，然后由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角A的度数．
（2）由余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简所求可得$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2，结合B的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：由（2c-b）tanB=btanA，及正弦定理得：
（2sinC-sinB）•$\frac{sinB}{cosB}$=sinB•$\frac{sinA}{cosA}$，
∵sinB≠0，
∴（2sinC-sinB）•$\frac{1}{cosB}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
化简得：2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，由A+B+C=π，
得到：2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，
由sinC≠0，得到cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\frac{{{b^2}-{{（a-c）}^2}+bc}}{ac}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}+2ac+bc}{ac}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}-{c}^{2}}{ac}$+2+$\frac{b}{a}$=-2cosB+$\frac{sinB}{sinA}$+2
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB-2cosB+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2，
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），B-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$），
∴sin（B-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（B-$\frac{π}{3}$）+2∈（0，4）．

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．