Question

4．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{x+a}{{{x^2}+1}}$（a∈R）是奇函数，函数g（x）=$\frac{mx}{2+x}$的定义域为（-2，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=$\frac{mx}{2+x}$在（-2，+∞）上单调递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是奇函数，求出a=0即可；
（2）根据函数g（x）在（-2，+∞）上单调递减，得到g（x₁）-g（x₂）＞0，从而求出m的范围即可；
（3）问题转化为x=0或 mx²+x+m+2=0，通过讨论m的范围结合二次函数的性质求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-x+a}{{x}^{2}+1}$=-$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$，得a=0…（2分）
（2）∵$g（x）=\frac{mx}{2+x}$在（-2，+∞）上单调递减，
∴任给实数x₁，x₂，当-2＜x₁＜x₂时，g（x₁）＞g（x₂），
∴$g（{x_1}）-g（{x_2}）=\frac{{m{x_1}}}{{2+{x_1}}}-\frac{{m{x_2}}}{{2+{x_2}}}=\frac{{2m（{x_1}-{x_2}）}}{{（2+{x_1}）（2+{x_2}）}}＞0$
∴m＜0…（5分）
（3）由（1）得f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，令h（x）=0，即$\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{mx}{2+x}=0$．
化简得x（mx²+x+m+2）=0．
∴x=0或 mx²+x+m+2=0…（7分）
若0是方程mx²+x+m+2=0的根，则m=-2，
此时方程mx²+x+m+2=0的另一根为$\frac{1}{2}$，符合题意…（8分）
若0不是方程mx²+x+m+2=0的根，
则函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点
等价于方程mx²+x+m+2=0（※）在区间（-1，1）上有且仅有一个非零的实根…（9分）
①当△=1²-4m（m+2）=0时，得$m=\frac{{-2±\sqrt{5}}}{2}$．
若$m=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$，则方程（※）的根为$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-2-\sqrt{5}}}=\sqrt{5}-2∈（{-1，\;1}）$，符合题意；
若$m=\frac{{-2+\sqrt{5}}}{2}$，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意．
∴$m=\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}$…（10分）
③当△＞0时，令ω（x）=mx²+x+m+2
由$\left\{\begin{array}{l}{ω（-1）•ω（1）＜0}\\{ω（0）≠0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}（2m+1）（2m+3）＜0\\ m+2≠0\end{array}\right.$，
解得$-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{1}{2}$…（12分）
综上所述，所求实数m的取值范围是$（{-\frac{3}{2}，\;-\frac{1}{2}}）∪\left\{{-2，\frac{{-2-\sqrt{5}}}{2}}\right\}$…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．