Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、CC₁的中点．
（1）求证：AE∥平面BFD₁．
（2）设正方体棱长为1，求三棱锥C₁-D₁BF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知可证四边形ABFE为平行四边形，得AE∥BF，然后由线面平行的判断得答案；
（2）直接利用等积法求三棱锥C₁-D₁BF的体积．

解答 （1）证明：如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接EF，
∵E、F分别为DD₁、CC₁的中点，∴EF∥CD，EF=CD，
又CD∥AB，CD=AB，
∴EF∥AB，EF=AB，则四边形ABFE为平行四边形，
∴AE∥BF，
又AE?平面BFD₁，BF?平面BFD₁，
∴AE∥平面BFD₁ ；
（2）解：∵BC⊥平面C₁D₁F，且正方体棱长为1，
∴${V}_{{C}_{1}-{D}_{1}BF}={V}_{B-{C}_{1}{D}_{1}F}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．