Question

1．已知数列{a_n}是等比数列，满足a₁=3，a₄=24，数列{b_n}是等差数列，满足b₂=4，b₄=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n-b_n，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列的性质，a₄=a₁•q³，即可求得q的值，即可求得数列数列{a_n}的通项公式，求得a₃，根据等差数列性质，求得公差d，即可求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）即可求得数列{c_n}的通项公式，根据等比数列和等差数列前n项和公式，即可求得数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意，得${q^3}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{24}{3}=8$，…（2分）
解得：q=2．…（3分）
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}=3×{2^{n-1}}（n=1，2，…）$．…（4分）
∴a₃=12．…（5分）
设等差数列{a_n}的公差为d，
∵b₂=4，b₄=12，
∵b₄=b₂+2d，
∴12=4+2d，
解得：d=4，
∴b_n=b₂+（n-2）d=4+（n-2）×4=4n-4，
b_n=4n-4．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${a_n}=3×{2^{n-1}}$，b_n=4n-4，
因此${c_n}={a_n}-{b_n}=3×{2^{n-1}}-（4n-4）$．
从而数列{c_n}的前n项和${S_n}=3+6+…+3×{2^{n-1}}-[0+4+8+…+（4n-4）]$…（9分）
=$3×\frac{{1-{2^n}}}{1-2}-\frac{n（4n-4）}{2}$…（11分）
=3×2ⁿ-3-n（2n-2）…（12分）
=3×2ⁿ-3-2n²+2n．…（13分）

点评 本题考查等差数列和等比数列通项公式，考查数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．