Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函数的最小正周期，
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调减区间；
（3）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）由题意：已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由正弦函数图象可知：2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）单调减函数，即2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得：kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$
所以：函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．
（3）由题意：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$-\frac{7π}{12}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$．
当2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值，即$f（\frac{π}{4}）_{max}=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}+1=2$
当2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$时，即x=$-\frac{π}{8}$时，f（x）取得最小值，即$f（\frac{π}{8}）_{min}=\sqrt{2}sin（-\frac{π}{2}）+1=1-\sqrt{2}$

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．