Question

8．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x（a∈R），若函数f（x）的图象上点P（1，m）处的切线方程为3x-y+b=0，（1）求a、m的值；（2）求点P处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，把P的横坐标x=1代入导函数中求出的导函数值即为过P切线方程的斜率，又由切线方程得到切线的斜率为3，让求出的导函数值等于3列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把求出的a的值代入，确定出f（x），把x=1代入即可求出m的值；
（2）把（1，-$\frac{1}{3}$）代入切线方程，求出b，即可得到切线方程．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x，
∴f′（x）=2x²-4ax-3，
则过点P（1，m）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a，
又∵切线方程为3x-y+b=0，
∴-1-4a=3，即a=-1
∴f（x）=$\frac{2}{3}$x³+2x²-3x，
又∵P（1，m）在f（x）的图象上，
∴m=-$\frac{1}{3}$；
（2）点P处的切线方程：3x-y+b=0，（1，$-\frac{1}{3}$）代入方程可得，b=$\frac{10}{3}$．
点P处的切线方程：9x-3y+10=0．

点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是一道中档题．