Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中点，PA=AD=4，AB=3．
（1）证明PB∥底面ACE；
（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用中位线得到线线平行，进一步转化为线面平行．
（2）首先利用绵绵的垂直转化成线面的垂直，进一步得出线面的夹角，最后利用解直角三角形知识求出结果．

解答：
证明：（1）连结BD交AC于O，连结EO，
则：EO是△PBD的中位线，
所以：PB∥EO
因为PB?平面ACE，EO?平面ACE
所以：PB∥平面ACE                                       
（2）作BH⊥AC于H，连结PH
因为：PA⊥底面ABCD，
所以：平面PAC⊥平面ABCD
由两平面垂直的性质定理得，BH⊥平面PAC
所以：∠BPH就是直线PB与平面PAC所成的角．
因为 PB=5，BH=

12

5

，
所以：sin∠BPH=

BH

PB

=

12

25

，
即直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为

12

25

．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面的夹角，解直角三角形知识，属于基础题型．