Question

已知F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求此椭圆的方程；
（2）求直线AB的斜率的取值范围．

Answer 1

解：（1）由于，
∴，解得，
∴椭圆的方程是．

（2）∵，∴A，B，N三点共线，
而N（-2，0），设直线的方程为y=k（x+2），（k≠0），
由消去x得：
由，解得．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得①，
又由得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
将②式代入①式得：，
消去y₂得：．
设，当时，?（λ）是减函数，
∴，∴，
解得，又由得，
∴直线AB的斜率的取值范围是．
分析：（1）有题意及椭圆的方程和性质利用，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由题意先设直线的方程为y=k（x+2）（k≠0），把直线方程与椭圆方程进行联立，利用韦达定理整体代换，借助于与，得到k，λ的关系式，用λ表示k，有λ的范围再求出k的范围．
点评：此题考查了椭圆的方程及椭圆的基本性质，直线方程与椭圆方程进行联立设而不求及整体代换的思想，还考查了利用均值不等式求值域．