Question

【题目】已知椭圆：，为坐标原点，为椭圆的左焦点，离心率为，直线与椭圆相交于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是弦的中点，是椭圆上一点，求的面积最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据可求得，结合离心率为即可求得，，问题得解。

（2）设，.设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程可得：，结合可求得，利用弦长公式求得，再利用直线与椭圆的位置关系即可求出点到直线的距离的最大值，问题得解。

解：∵，为椭圆的左焦点，

设椭圆的焦距为，所以，

∵离心率为，∴，又，所以，

∴椭圆的方程为：.

（2）设，.

∵是弦的中点，∴直线的斜率存在，设斜率为，

则直线的方程为：，即.

由联立，整理得：，

因为直线与椭圆相交，所以成立.

∴，，

∴，

∴，

∴直线的方程为：，，，

∴ .

要使的面积最大值，而是定值，需点到的距离最大即可.

设与直线平行的直线方程为：，

由方程组联立，得，

令，得.

∵是椭圆上一点，

∴点到的最大距离，即直线到直线的距离.

而，

此时 .

因此，的面积最大值为.