Question

2．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，则不等式f（x）＞$\frac{x+1}{2}$的解集为（-∞，1）．

Answer 1

分析 设g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{2}$，求出g（1），求出g（x）的导函数，确定其单调性，由单调性列式求解．

解答 解：设g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{2}$，g（1）=f（1）-$\frac{1+1}{2}$=0，
则g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵对任意x∈R，都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，即g（x）为实数集上的减函数．
不等式即为g（x）＞0=g（1）．
则x＜1，
∴不等式的解集为（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答的关键是正确构造出辅助函数，是中档题．