Question

已知函数 ，．

(1）当 时，求函数 的最小值；

(2）当 时，求证：无论取何值，直线均不可能与函数相切；

(3）是否存在实数，对任意的 ，且，有恒成立，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由。

 

Answer 1

（1）-2ln2；（2）详见解析；（3）存在实数，．

【解析】

试题分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，从而求出函数f（x）的最小值；（2）把a=-1代入原函数，求出导函数后利用基本不等式求出导函数的值域，从而说明无论c 取何值，直线均不可能与函数f（x）相切；（3）假设存在实数a使得对任意的 ，且 ，有恒成立，假设 ，则 恒成立，构造辅助函数 ，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解；（1）显然函数的定义域为，

当．

∴ 当，．

∴在时取得最小值，其最小值为 ．

（2）∵，

假设直线与相切，设切点为，则

所以所以无论取何值，直线均不可能与函数相切。

（3）假设存在实数使得对任意的 ，且，有,恒成立，不妨设，只要，即：

令，只要 在为增函数

又函数．

考查函数

要使,

故存在实数恒成立．

考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值；2．利用导数研究曲线上某点切线方程．